充要條件的判斷與證明

若條件與結(jié)論互相不能推出，則既不是充分條件也不是必要條件。
（三）理解3：從集合觀點(diǎn)看
二、充要關(guān)系的判斷
（一）定義法：根據(jù)推出式及定義判斷
例1.指出下列各命題中，命題p是命題q的_________條件。
（1）p：兩個(gè)三角形的面積相等，q：兩個(gè)三角形全等。
（1）∵條件p不能推出結(jié)論q，結(jié)論q能夠推出條件p
∴p是q的必要而不充分條件
（2）∵（條件p）能夠推出（結(jié)論q）
（結(jié)論q）不能夠推出（條件p）
∴p是q的充分而不必要條件
（3）∵
∴p是q的充分必要條件
說明：用定義法進(jìn)行判斷有以下兩個(gè)步驟：
（1）分清條件與結(jié)論（2）找推式并判斷真假（3）根據(jù)定義得結(jié)論。
（二）等價(jià)法：將命題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)又便與判斷真假的命題
例2.曲線C的方程為F(x,y)=0
命題甲：點(diǎn)P的坐標(biāo)適合方程F(x,y)=0
命題乙：點(diǎn)P在曲線C上
命題丙：點(diǎn)Q的坐標(biāo)不適合方程F(x,y)=0
命題丁：點(diǎn)Q不在曲線C上
已知：命題甲是命題乙的必要而不充分條件，試判斷命題丙與命題丁之間的充要關(guān)系。
解析：∵命題甲是命題乙的必要而不充分條件，即“點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)P坐標(biāo)適合方程F(x,y)=0”為真，∴其逆否命題“點(diǎn)P坐標(biāo)不適合方程F(x,y)=0，則點(diǎn)P不在曲線C上”也為真?！嗝}丙可以推出命題丁，又命題甲是命題乙的不充分條件，∴命題丁不能推出命題丙。∴命題丙是命題丁的充分而不必要條件，命題丁是命題丙的必要而不充分條件。
說明：對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般采用等價(jià)轉(zhuǎn)化法。
說明：用集合法判斷時(shí)，常用圖示法，形象、直觀的簡化過程，降低思維難度，便于學(xué)生理解接受。
（四）邏輯判斷法
例4.下列電路圖中，閉合開關(guān)A是燈泡B亮的什么條件？
解析：
①圖中，A閉合，B亮；而B亮?xí)r，A不一定閉合。所以A是B的充分而不必要條件。
②圖中，A閉合，B不一定亮；而B亮?xí)r，A必須閉合。所以A是B的必要而不充分條件。③圖中，A閉合，B亮；而B亮?xí)r，A必閉合。所以A是B的充分必要條件。
④圖中，A閉合，B不一定亮；而B亮?xí)r，A不一定閉合。所以A是B的非充分非必要條件。
三、利用充要條件等價(jià)轉(zhuǎn)化命題
直接求解某一個(gè)問題比較困難時(shí)，可以先尋求它的充要條件，使原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成一個(gè)比較熟悉的問題，從而使問題順利得到解決。
例5.如果一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
解析：方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件為
從而求得k的取值范圍是。
說明：判斷充要條件的關(guān)鍵是抓住推出式，而合理利用數(shù)學(xué)定理、集合的包含關(guān)系、邏輯推理證明是判斷充要條件的主要工具。
在充要條件的教學(xué)中，對(duì)定義的正確理解是基礎(chǔ)，正確判斷充要關(guān)系是重點(diǎn)，利用充要關(guān)系解決相關(guān)問題是關(guān)鍵。所以在教學(xué)中，要使各類知識(shí)融會(huì)貫通，合理培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。