計(jì)算機(jī)輔助卡諾圖的快速化簡(jiǎn)

 引言
利用計(jì)算機(jī)輔助卡諾圖化簡(jiǎn)，使授課方式變得方便、快捷，節(jié)省了教師授課時(shí)的板書(shū)時(shí)間，提高了教學(xué)效率，使課堂教學(xué)活動(dòng)變得活潑，生動(dòng)有趣，富有啟發(fā)性、真實(shí)性，可以從根本上改變傳統(tǒng)上單調(diào)的教學(xué)模式，從而活躍學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
1 卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯簡(jiǎn)介
1.1 卡諾圖的構(gòu)成 卡諾圖是一種平面方格圖，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，故又稱為最小項(xiàng)方格圖。結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：n個(gè)變量的卡諾圖由2n個(gè)小方格組成，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)；卡諾圖上處在相鄰、相對(duì)、相重位置的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。（圖1）
1.2 卡諾圖的性質(zhì) 卡諾圖的構(gòu)造特點(diǎn)使卡諾圖具有一個(gè)重要性質(zhì)：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項(xiàng)合并。合并的理論依據(jù)是并項(xiàng)定理AB+AB’=A。例如，兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并為一個(gè)“與”項(xiàng)并消去一個(gè)變量。用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理就是把上述邏輯依據(jù)和圖形特征結(jié)合起來(lái)，通過(guò)把卡諾圖上表征相鄰最小項(xiàng)的相鄰小方格“圈”在一起進(jìn)行合并，達(dá)到用一個(gè)簡(jiǎn)單“與”項(xiàng)代替若干最小項(xiàng)的目的。通常把用來(lái)包圍那些能由一個(gè)簡(jiǎn)單“與”項(xiàng)代替的若干最小項(xiàng)的“圈”稱為卡諾圈。
1.3 邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示 當(dāng)邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式時(shí)，只需在卡諾圖上找出和表達(dá)式中最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。[1]
如函數(shù)Y=AB+CD+ACD的卡諾圖如圖2所示。
手工填寫(xiě)卡諾圖既費(fèi)時(shí)又易出錯(cuò)，如果在輸入邏輯表達(dá)式后，由計(jì)算機(jī)自動(dòng)進(jìn)行邏輯運(yùn)算，自動(dòng)填寫(xiě)卡諾圖既方便又快捷。
2 利用計(jì)算機(jī)的圖形處理系統(tǒng)繪制卡諾圖
2.1 繪圖前的各種屬性的設(shè)置 計(jì)算機(jī)的圖形操作，都要使用繪圖區(qū)或容器的坐標(biāo)系統(tǒng)，窗體是一個(gè)容器，所有的控件都分布窗體內(nèi)，每個(gè)容器都有一個(gè)坐標(biāo)系，構(gòu)成一個(gè)坐標(biāo)系，需要三個(gè)元素：坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)度量單位、坐標(biāo)軸的長(zhǎng)度與方向。在VB中，當(dāng)新建一個(gè)窗體時(shí)，新窗體采用默認(rèn)坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)在窗體的左上角，橫向向右為X軸的正方向，縱向向下為Y軸的正向，單位為twip。為了符合日常的繪圖習(xí)慣，我們可以使用屏幕的SCALE方法將坐標(biāo)的原點(diǎn)設(shè)置在屏幕的左下角，橫向向右為X軸的正方向，縱向向上為Y軸的正方向。并利用窗體的SCALEMODE屬性將坐標(biāo)單位改為毫米。設(shè)置好畫(huà)圖的線條粗細(xì)和顏色。[2]
2.2 繪圖 繪圖時(shí)輸入變量的個(gè)數(shù)及卡諾圖的大小。計(jì)算機(jī)便依據(jù)變量個(gè)數(shù)分別動(dòng)態(tài)繪出三變量、四變量，或五變量卡諾圖。精確繪圖必須熟悉對(duì)坐標(biāo)的計(jì)算。
3 邏輯表達(dá)式的輸入，譯碼及運(yùn)算
當(dāng)輸入邏輯表達(dá)式時(shí)，原變量照寫(xiě)，反變量在字母后加單引號(hào)，如Y=AB’+BC’+B’C+A’B，或者是輸入函數(shù)包含最小項(xiàng)的形式，如Y=∑（3，2，4，5，7，6，12，13，8，9，10，11）。用一個(gè)文本框接收邏輯表達(dá)式AB’+BC’+B’C+A’B后，以“+”為界將其分解為若干個(gè)“與”項(xiàng)。再將每個(gè)“與”項(xiàng)中的反變量先進(jìn)行非運(yùn)算（NOT），然后進(jìn)行“與”（AND）運(yùn)算，最后將四個(gè)“與”項(xiàng)運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行“或”（OR）運(yùn)算。在運(yùn)算前按照變量在卡諾圖上的分布分別給變量賦值：讓A=&H00FF，B=&H0FF0，C=&H3333，D=&H6666（按十六進(jìn)制書(shū)寫(xiě)）。因?yàn)樽兞緼在四變量卡諾圖最上面兩行為（0000，00000），最下面兩行為（1111，1111），故賦值A(chǔ)=&H00FF。
4 卡諾圖的填寫(xiě)
上述邏輯運(yùn)算的結(jié)果為十進(jìn)制數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)后，依次賦給動(dòng)態(tài)產(chǎn)生的十六個(gè)文本框。然后將十六個(gè)文本框依次移動(dòng)到卡諾圖對(duì)應(yīng)的位置上，并在卡諾圖上每個(gè)方格的右下角標(biāo)上最小項(xiàng)的編號(hào)。如圖2所示。
5 畫(huà)卡諾圈，合并最小項(xiàng)，生成最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)式[3]
卡諾圖具有循環(huán)鄰接的特性，即相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同。若圖中兩個(gè)相鄰的小方格均為1，則這兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)的和將消去一個(gè)變量；若卡諾圖中四個(gè)相鄰的方格為1，則這四個(gè)相鄰的最小項(xiàng)的和將消去二個(gè)變量；八個(gè)相鄰的最小項(xiàng)合并時(shí)可消去三個(gè)變量；利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)常用的方法是“圈1法”。用“圈1法”畫(huà)包圍圈的原則如下：①圈的個(gè)數(shù)應(yīng)最少，圈內(nèi)的小方格個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能的多。②將值為“1”的相鄰方格圈成矩形或方形。③所圈取值為1的相鄰小方格的個(gè)數(shù)應(yīng)為1，2，4，8，其它形式是非法形式。④畫(huà)包圍圈時(shí)，每個(gè)取值為1的方格可以被重復(fù)包圍，但每個(gè)包圍圈都要有新的方格，同時(shí)不能漏去任何一項(xiàng)。
當(dāng)輸入一個(gè)卡諾圈所包含的最小項(xiàng)，如（3，2，7，6）時(shí)，由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的算法如下：
①將上述包含的最小項(xiàng)輸入給一個(gè)文本框，利用Q=SPLIT（TEXT1，”，”）語(yǔ)句將各個(gè)最小項(xiàng)分別賦值給一個(gè)動(dòng)態(tài)數(shù)組Q，并按升序排列，這里Q（0）=2為四個(gè)最小項(xiàng)的最小值。然后根據(jù)Q（0）的值寫(xiě)出代表的最小項(xiàng)，如：Q（0）=0，則STR1=“A’B’C’D’”，Q（0）=1、則STR1=“A’B’C’D”，這里的Q（0）=2所以STR1=“A’B’CD’”。
②依次求Q（1），Q（2），Q（3）與Q（0）的差值，凡是差值為2N（即1，2，4，8）時(shí)，執(zhí)行3，否則執(zhí)行4。
③依據(jù)差值消去相應(yīng)的變量：當(dāng)差值為8時(shí)、則消去STR1中的變量A，當(dāng)差值為4時(shí)、消去STR1中的變量B， 當(dāng)差值為2時(shí)消去STR1中的變量C，當(dāng)差值為1時(shí)、消去STR1中的變量D，例Q（1）-Q（0）=3-2=1，則消去STR1中的變量D，這里的Q（2）-Q（0）=6-2=4，則消去STR1中的變量B，所以最初STR1=“A’BCD”，則變?yōu)镾TR1=“A’C”。即A’C含概了最小項(xiàng)（3，2，7，6）。
④將上述生成的最簡(jiǎn)與項(xiàng)用加號(hào)“+”連接起來(lái)，就是最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)式。圖3為輸入函數(shù)Y=AB’+BC’+B’C+A’B后的運(yùn)行結(jié)果。
結(jié)論：應(yīng)用VB編程，由計(jì)算機(jī)繪制卡諾圖，對(duì)邏輯表達(dá)式的自動(dòng)譯碼、運(yùn)算、卡諾圖的自動(dòng)填寫(xiě)、最后生成最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)式。實(shí)現(xiàn)了邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的高效性。