高中生數(shù)學問題表征能力個案分析

1.研究材料
材料1 設y=x2-10x+26+x2-2x+5，x∈R，求y的最小值.
材料2 有個和尚第一天日出從山底沿著山路時快時慢朝山頂走去，日落時剛好到達山頂.過了幾天，他又在日出時沿著同樣的路線下山，行走也是時行時歇的.雖然他行走的平均速度較上山快一些，不過也在近日落時到達山腳的.問：和尚在往返的路上是否會有一天中的同一時刻通過同一點？
2.解題實錄
材料1解題實錄：
甲類同學：這是一個求兩個根式和的最小值的問題.剛拿到題目，感覺無處下手，但是嘗試將兩個根號下進行配方，得到：
y=x-52+0-12+x-12+0-22.
這樣我突然想到兩點間的距離公式，因此此題可以轉(zhuǎn)換成在x軸上求一點，使它到（5，1）和（1，2）點的距離之和最小.而這類題目只需作出其中一點關于x軸的對稱點，然后連接對稱點和另外一點與x軸相交的交點的橫坐標即可.
同學乙：兩個根式的和求最小值的問題，從來沒有見這類題.以我已有知識，只能這樣做：將每個根式里面進行配方，但是配方后不能繼續(xù)下去！當?shù)谝粋€取最小值時，第二不取最小值；當?shù)诙€取最小值時，第一個不取最小值，這樣不知道如何繼續(xù)下去！
材料2解題實錄：
甲類同學：絕對有可能在同一時刻經(jīng)過同一個地點.我可以把這個問題視作兩個和尚同時上山和下山，他們在行進的過程中肯定會在某個時刻在某個地點相遇.
乙類同學：我覺得不可能在同一時刻經(jīng)過同一個地點.因為題中說過了幾天，他又沿著同樣路線下山，行走的平均速度較上山快一些，他上山與下山時，日出到日落的時差不相同，因此不可能在同一時刻經(jīng)過同一個地點.
3.差異分析
（1）表征所用的知識圖式上存在著顯著差異
優(yōu)等生頭腦中擁有大量的可利用的知識圖式，這些圖式可以促進問題的表征.優(yōu)生在表征第1題時，配方以后馬上就會想到兩點間的距離公式，這種轉(zhuǎn)換能力是建立在非常靈活掌握此部分知識的基礎上，而差生不知道這種聯(lián)系，運用了錯誤的表征，從而導致解題失敗.
（2）表征問題的深度上存在著較大差異
差生不能抓住問題的本質(zhì)，易被無關信息干擾，往往跳過關鍵信息，使用無關信息.如差生在表征第2題時，把關注點集中在“下山行走的平均速度較上山快”，而沒有注意到“也是近日落時到達山腳的”.而優(yōu)生能夠迅速抓住問題的本質(zhì)，將問題表征為兩個人同時上下山，一定會在途中某個位置相遇.
（3）表征問題時的心理因素存在較大差異
研究表明，學生心理的焦慮水平和問題的解決呈負相關.優(yōu)生表征問題時沉著冷靜，能夠做到有條不紊；而差生在表征難以解決的問題時，往往會產(chǎn)生急躁心理，還沒等弄明白問題就急著要得出一個答案，甚至不管已知條件是否充足、所選擇的策略是否有效，他們就開始胡亂地把已知條件拼湊在一起進行數(shù)學運算，結(jié)果思維越來越混亂，使問題得不到有效解決.
4.提出對策
（1）突出問題的基本特征
對于一個數(shù)學問題來說，我們要善于抓住并突出其基本特征，這是有效表征問題的一個重要途徑.只有突出問題的基本特征，同學們的大腦中才會對這個問題的有用信息進行分析，而摒棄掉一些無關緊要的信息，這樣才可以為很好地進行表征做好鋪墊.
（2）注意表征方法的多樣化
我們可以嘗試讓學生用多種表征方法來思考問題，通過表征多樣化練習，從不同的表征方法中尋找最優(yōu)方法.教師要創(chuàng)造性地使用教材，即注重一題多解、題題多變、多題一解的思維訓練，設計一些具有不確定性，非唯一結(jié)論的問題，讓學生在開放題的探索中，創(chuàng)造性思維得到發(fā)展.
（3）幫助學生使用適當?shù)谋碚鞣椒?br />同學們對一個數(shù)學問題都有自己的表征方法和內(nèi)容，但是這些內(nèi)容和方法是參差不齊的，存在一定的差異性，這種差異性因同學們的個性品質(zhì)、知識結(jié)構(gòu)不同而不同.因此我們應該幫助學生使用適合自己的表征.
（4）示范性表征方法的運用
由于多數(shù)教師重視解題過程而忽略表征過程，再加之教師很少向?qū)W生講解常用的表征的方法，致使學生無“法”可依.因此，教師應該在教學中加強示范性表征方法的應用，使同學們做到“有法可依”.通過示范性表征方法的運用，幫助學生建立相應的策略運用模型，從而順利地解決問題.