數(shù)學方法論下高中數(shù)學教學的思考

 數(shù)學教學首先要讓數(shù)學恢復其本來面目，恢復其創(chuàng)造過程中的形式，進行所謂返璞歸真的改革，才能通過學生自己的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造學習數(shù)學.當然，要讓學生像數(shù)學家一樣親身來發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造數(shù)學模式似乎不可能，但通過主動建構(gòu)來學數(shù)學，體驗數(shù)學家發(fā)明與創(chuàng)造的喜悅是完全可能的.
一、“返璞歸真”的概念課
數(shù)學概念是數(shù)學學習的基石，只有把概念理解透徹，牢固掌握，才能在數(shù)學的學習過程中游刃有余.因此，教師對數(shù)學概念教學應該返璞歸真，根據(jù)不同教學內(nèi)容的要求，努力揭示數(shù)學的本質(zhì).
在數(shù)學概念教學中，就應引導學生特別注意概念所反映對象的范圍，概念定義中的關(guān)鍵詞語，概念定義中詞語的嚴密性，概念的語言表達方法，概念中的“特例”與“一般”，概念間的相互聯(lián)系等等，以此作為思維的展開點，學生才能真正理解概念，掌握概念.
二、經(jīng)歷“再創(chuàng)造”，主動建構(gòu)
著名數(shù)學家徐利治指出“無論是數(shù)學中的概念和命題，或是問題，或方法，事實上都應該被看成一種具有普遍意義的模式”.因此，學生在學習數(shù)學過程中，通過點典型例子的分析和主動探索，逐步建立各種結(jié)構(gòu).
1.建立知識結(jié)構(gòu)
認知心理學揭示了人們學習數(shù)學中不斷建構(gòu)的過程，當學生原有認知結(jié)構(gòu)與外界數(shù)學新情境基本相符時，學生可以通過同化和順應的方式來擴大自己的認知結(jié)構(gòu).
如：a+b與ab是最基本的運算形式，在二次方程中，兩根之和.兩根之積表達為根與系數(shù)的關(guān)系，對解決二次方程相關(guān)問題的應用之大，從初中起學生就感受很深.高中階段可進一步發(fā)掘a+b，ab結(jié)構(gòu)式的運用.
在三角公式中，a+b，ab可共存于兩角和的正切：
tan（α+β）=tanα+tanβ[]1-tanαtanβtanα+tanβ=tan（α+β）·（1-tanαtanβ）.
對于正余弦，sinα±cosα與sinαcosα經(jīng)常需要相互轉(zhuǎn)換.
例1 （1）求tan70°+tan50°-3tan70°tan50°的值；
（2）已知sin2x+2（sinx+cosx）-22-1=0，求tanx；
（3）求函數(shù)y=sinx·cosx[]1+sinx+cosx的值域.
（解略）
進一步探索發(fā)現(xiàn)a+b與ab自身結(jié)構(gòu)變形：
（a±1）（b±1）=a·b±a±b+1有奇特的應用場合.
例2 已知數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為An， Bn ，那么數(shù)列{Anbn+Bnan-anbn}的前n項和是.
分析與解 對于a+b與ab可以構(gòu)造出（a±1）（b±1）.
據(jù)此，設新數(shù)列為Cn ，則
Cn=AnBn+Bnan-anbn=AnBn-AnBn+Anbn+Bnan-anbn=AnBn-（An-an）（Bn-bn）=AnBn-An-1Bn-1，n∈N，C1=A1B1-A0B0，
C2=A2B2-A1B1.
不妨設A0B0=0，則
C3=A3B3-A2B2；

Cn=AnBn-An-1Bn-1.
所以，
C1+C2+C3+…+Cn=AnBn-A0B0=AnBn.即{Anbn+Bnan-anbn}的前n項和是AnBn.
這樣，把學生原有的知識加以鞏固和深化，建立一個知識結(jié)構(gòu)，有助于新問題的解決.
2.建立思想方法結(jié)構(gòu)
為了讓學生掌握新模式，傳統(tǒng)教法總是先做各種鋪墊，讓學生跟著老師的步子被動地承認與模仿，但最終還是改變不了知其然不知所以然的一知半解的局面，因此，讓學生在學習實踐中探索，主動建立數(shù)學思想方法結(jié)構(gòu)，從本質(zhì)上掌握各種新問題.
例如建立目標性解題思想方法結(jié)構(gòu).
所謂目標性解題就是根據(jù)題目的條件，按明確的解題方向，一步步趨近于實現(xiàn)解題的結(jié)論，只要條件應用得當，思路與方法不錯，也就能成功地作出解答.
例3 已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x1，x2∈R，x1≠x2都有|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|，且存在一個實數(shù)x0使f（x0）=x0，數(shù)列{an}中，a1
（1）an分析 本題容易形成數(shù)學歸納法的解法，但如果把題設條件用起來，由目標性解題的思想，可使證明顯得順利而簡單.
證明 據(jù)題意，不妨設x1=an，x2=x0，則
|f（an）-f（x0）|<|an-x0|，
|2an+1-an-x0|<|an-x0|.
兩邊平方，化簡，得
an+1（an+1-an）-x0（an+1-an）=（an+1-an）（an+1-x0）<0.（*）
所以， an（1）an+1an，n∈N.此即欲證之結(jié)論.
（2）an+1>x0，an+1x0矛盾，舍去.
所以，命題成立.
說明 直接利用|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|的條件，結(jié)合f（an）=2an+1-an進行運算化簡，這就是目標性解題思想的應用，其中x1=an，x2=x0的關(guān)聯(lián)性代換以及對（*）的討論，顯得很重要、很關(guān)鍵.
在建立某一思想方法結(jié)構(gòu)后，學生就能將其滲透并貫穿于今后的問題解決.這對高中數(shù)學的學習是極有利的.
3.建立技巧結(jié)構(gòu)
數(shù)學的解題能力之一，講究的就是變換、轉(zhuǎn)化、代換、化歸等技巧，這些的獲得，全在于對于基本概念的準確把握與靈活運用的同時，建立一定的技巧結(jié)構(gòu).
如代換技巧就有消元代換、參數(shù)代換、增量代換、三角代換、結(jié)構(gòu)代換等，靈活而有效地使用各種代換方法，使看起來不易解決的問題能得到較為理想、較為滿意的解決.
例4 求證：對任意實數(shù)a>1，b>1，有不等式a2[]b-1+b2[]a-1≥8.
證明 設a=1+x，b=1+y， x，y∈R+，則
a2[]b-1+b2[]a-1=（1+x）2[]y+（1+y）2[]x≥（2x）2[]y+（2y）2[]x=4x[]y+y[]x≥8，
當且僅當1=x=y，即a=b=2時取等號.
說明 該題采用了增量代換，使問題變得簡單明了.有了一定的解題技巧，在解決較復雜的數(shù)學問題時會有事半功倍之效.
因此，數(shù)學方法論的指導思想與學生學習的心理特征結(jié)合起來，實踐于新課程改革下的高中數(shù)學教學，對學生的學習方式的改善和老師的教法的逐步完善具有莫大的幫助和促進作用.同時在教學中把教會學生學會發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造進一步落到實處.