“精講多練”要求下的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

 一、通過學(xué)生大膽嘗試揭示概念的內(nèi)涵
以往的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師從多種背景、多種層次、多個側(cè)面、多維結(jié)構(gòu)等方面去揭示概念的內(nèi)涵，使學(xué)生明確概念的本質(zhì)屬性，但是很多學(xué)生即使當(dāng)時聽懂老師的講解，在遇到自己獨立解決某些問題的時候仍然出錯，另一方面也會助長學(xué)生過分依賴教師的思想，總是認(rèn)為教師講得越多越好，越細(xì)越好，越易懂越好，習(xí)慣了“聽”的學(xué)生對概念的理解難以深刻.美國心理學(xué)家桑代克的嘗試錯誤學(xué)習(xí)理論告訴我們，有些問題學(xué)生沒有自己主動提出問題，主動思考，并大膽嘗試，就無法真正理解和掌握.
如：初中時學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)解決含絕對值的等式問題，如|x|=2，則x=±2，進入高中解決含絕對值的不等式問題時，卻出現(xiàn)|x|<2，則x<±2，其原因在于學(xué)生對于含絕對值的等式問題的解決已經(jīng)進入程序化的思維過程，遺忘了絕對值概念的最為基礎(chǔ)的定義是|x|=x，x>0，
-x，x<0，
同時沒有深入理解“如果a>b，c<0，則ac又如：在學(xué)習(xí)面面平行的性質(zhì)定理“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行”時，即便老師強調(diào)多次需要的三個條件分別為：∵α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，才可以得出a∥b，但是學(xué)生卻經(jīng)常會使用為“∵α∥β，aα，bβ，則a∥b”.
以上兩個例子說明，即便是老師特別強調(diào)的不要理解概念上的誤區(qū)，學(xué)生在解決實際問題r 時候卻仍然“執(zhí)迷不悟”，有些問題必須讓學(xué)生出錯，才能真正明白概念.雖然這樣的方法有時在課堂上學(xué)生無法完成對概念更深入的學(xué)習(xí)，但是學(xué)生對于概念內(nèi)涵的理解有時并不是在某一節(jié)課就可以完成的，有時需要幾天，甚至是幾個月的時間才能慢慢掌握，如函數(shù)的概念，所以即使在課堂上學(xué)生無法嘗試到從足夠多的角度去理解概念，但是在后續(xù)的學(xué)習(xí)和練習(xí)中，學(xué)生可以不斷地補充，完善自己對于某一概念的理解.
二、通過學(xué)生自主建構(gòu)形成概念的體系
概念體系是一組概念中彼此之間存在的一些特定的數(shù)學(xué)抽象關(guān)系，以往的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師一般通過概念圖的方法，將每一個概念在平面上用一個點對應(yīng)地表示出來，然后用有向線段把有關(guān)系的點連接起來.但這種教師總結(jié)出來，學(xué)生學(xué)習(xí)的概念圖，充其量僅僅是一個知識梳理的作用，對于學(xué)生加深對于概念的理解以及概念彼此之間的抽象關(guān)系的掌握并沒有幫助，學(xué)生必須通過自主建構(gòu)形成的概念體系才能促進學(xué)生對于概念的深入理解.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為：學(xué)習(xí)過程不只是信息的輸入、存儲和提取，而是新舊經(jīng)驗之間的雙向的相互作用過程，也是學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)環(huán)境之間雙向建構(gòu)的過程.所以概念體系的形成應(yīng)該是在學(xué)習(xí)過程中逐漸建構(gòu)出來的，而不是學(xué)習(xí)完成之后總結(jié)出來的.
如在學(xué)習(xí)空間點線面位置關(guān)系一章中，學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定與性質(zhì)后，學(xué)生已經(jīng)掌握的概念如下圖：
如此時，學(xué)生根據(jù)概念圖很自然地會思考：面面平行能否得到線面平行？線線平行能否得到面面平行？如果可以得到，需要附加什么條件？從而通過自主探究，建構(gòu)如下圖：
通過筆者日常教學(xué)觀察，這部分知識由于相對比較集中，概念彼此之間條件相似性很高，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)即使能夠熟練背誦定理的內(nèi)容，但是在實際應(yīng)用時仍然出錯，其原因在于沒有理清概念彼此之間的關(guān)系和內(nèi)在的聯(lián)系，導(dǎo)致概念的混淆和套用.
三、通過小組合作學(xué)習(xí)實現(xiàn)概念的應(yīng)用
概念的應(yīng)用包括低層次的知覺水平的應(yīng)用和高層次的思維水平的應(yīng)用.一般來說，低層次的知覺水平的應(yīng)用是對概念自身結(jié)構(gòu)和內(nèi)涵的理解，涉及概念體系中其他概念因素較少；高層次的思維水平的應(yīng)用是一個比較復(fù)雜的過程，它需要學(xué)習(xí)者通過外部信息去激活、選擇和提取相關(guān)的概念和命題，并將其與當(dāng)前問題聯(lián)系起來，經(jīng)過解題訓(xùn)練，將這些經(jīng)驗內(nèi)化為個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu).從人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)可知，那些現(xiàn)實的、綜合的、復(fù)雜的實際問題，需要使用學(xué)過的理論知識綜合地處理才能解決問題，這一類問題沒有統(tǒng)一的解決問題的途徑，沒有程序化的解題模式，運用小組合作討論的教學(xué)方法可實現(xiàn)這一部分知識的學(xué)習(xí).
如一階遞推數(shù)列的知識中，學(xué)生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，由等比數(shù)列的知識學(xué)習(xí)形如an=pan-1+q（其中p，q為常數(shù)）類的一階遞推數(shù)列不再是難題，但是學(xué)生卻并不能理解為何要設(shè)an+λ=p（an-1+λ），此時需要老師引導(dǎo)學(xué)生從等比數(shù)列的定義an=an-1·p上思考，如果變成了an+λ=（an-1+λ）·p，則構(gòu)造出了一個新的等比數(shù)列{an+λ}，即an=pan-1+q型的一階遞推數(shù)列問題.由此引導(dǎo)學(xué)生小組間合作討論：“除了能加一個
λ外，還有哪些變化呢？”通過互相命題解答，再合作思考討論，學(xué)生很自然會出現(xiàn)an+n=（an-1+n）·p這一類錯誤的構(gòu)造，引發(fā)學(xué)生對
an=pan-1+（p-1）n這一類問題的思考及一階遞推數(shù)列的構(gòu)造關(guān)鍵在于什么地方，易錯點在于什么地方，從而實現(xiàn)對數(shù)列定義的深入理解和對等比數(shù)列概念的更深刻的思考，以及以后面對更復(fù)雜的一階遞推數(shù)列問題的思維導(dǎo)向，如對于an+xn=（an-1+xn-1）·p的構(gòu)造.
概念的應(yīng)用是概念學(xué)習(xí)中最難的一部分，也是學(xué)生從學(xué)習(xí)到應(yīng)用的轉(zhuǎn)化過程，不少學(xué)生正是由于沒有足夠的時間和機會去觀察、思考和發(fā)現(xiàn)才導(dǎo)致了對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的恐懼心理，小組合作學(xué)習(xí)為學(xué)生應(yīng)用概念和理解概念提供了機會和平臺，通過小組成員之間的互相溝通，互相作用，知識與策略的共享與共融，使得信息的加工更深入，概念的理解更深刻.
【參考文獻(xiàn)】
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