對高等數(shù)學教學中分部積分法的探討

摘要：在高等數(shù)學中，定積分可以解決很多現(xiàn)實問題。但是定積分的計算卻離不開不定積

分的求解，在諸多求不定積分的方法中，其中有一種方法是分部積分法，在分部積分公式

求不定積分時,關(guān)鍵是,的選取，很多教材都介紹了,的選取，

但是都不明確，學生接受起來比較困難。本文向大家介紹一種非常簡單并且容易記憶的關(guān)于

,選取的口訣。

關(guān)鍵詞：不定積分；分部積分；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)

引言

在高等數(shù)學中，定積分在整個知識體系中占有非常重要的地位，他在生活中的應用也非常廣泛。但是定積分的計算確離不開不定積分的計算。因此不定積分的計算對于我們來說也非常重要。在不定積分的計算中，有一種方法叫分部積分，即。我們知道在過程中關(guān)鍵是,的選取，如果選取得當，我們計算會非常順利，如果選取不得當會讓我們的不定積分變得越來越麻煩。例如，如果我們在這里選取函數(shù)，計算會非常順利，反之，如果選取大家會發(fā)現(xiàn)我們不但沒有求出這個不定積分，反而使我們的不定積分變得越來越復雜。所以在不定積分的計算中,的選取非常關(guān)鍵。   

通過多年的教學發(fā)現(xiàn)，在遇到用分部積分求不定積分時，被積函數(shù)一般都是三角函數(shù)、反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)這五類函數(shù)的乘積.對于它們乘積,的選取，我們總結(jié)了如下的口訣:

 “冪三冪指冪為，對數(shù)反三自為，三指相乘任意取，分部兩次移項求”

下面我們就對口訣中的每一句話進行解釋。

1，冪三冪指冪為

“冪三冪指冪為”是指如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和三角函數(shù)相乘，或者是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘時，選擇其中的冪函數(shù)做為。

   例如我們在求不定積分時，這里被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘，那么由上面的口訣選取這里的冪函數(shù)作為，作為

所以原式=

   如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和三角函數(shù)相乘，如求不定積分這里被積函數(shù)是冪函數(shù)和三角函數(shù)相乘，同樣由上面的口訣選取這里的冪函數(shù)作為，作為

所以原式=

其實在此選擇冪函數(shù)為的原因是，通過分部積分公式的轉(zhuǎn)化會讓冪函數(shù)的次數(shù)降低。

2，對數(shù)反三自為

“對數(shù)反三自為”是指如果在兩個被積函數(shù)相乘中有一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)那么就選取這個對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為，另外一個函數(shù)作為。

例如我們在求不定積分，這里被積函數(shù)中含有對數(shù)函數(shù)，那么由上面的口訣選取對數(shù)函數(shù)作為，另外一個函數(shù)作為

      所以原式=

在一般的情況下，如果被積函數(shù)出現(xiàn)了對數(shù)函數(shù)往往我們會用分部積分法來求不定積分。

再比如求不定積分，這里被積函數(shù)可以看作是1乘以，同樣由上面的口訣選取反三角函數(shù)作為，另外一個函數(shù)1作為

所以原式=

    在此選擇對數(shù)或者是反三角函數(shù)為的目的是，在應用分部積分進行計算時，可以把對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，而在不定積分中我們知道，有理函數(shù)的積分是有一個固定的過程可以來求解的。

3，三指相乘任意取，分部兩次移項求

“三指相乘任意取，分部兩次移項求”是指如果被積函數(shù)是三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘的選取是任意的，但是要進行兩次分部，使得等式的右邊也出現(xiàn)要求的不定積分，然后象解一次方程一樣移項求得結(jié)果。在這里要注意的是在兩次分部積分的時候要選取相同類型的函數(shù)作為，例如在第一次分部的時候若選取了三角函數(shù)作為，那么在第二次分部的時候仍然要選取三角函數(shù)作為。

我們看這樣一個例子，求不定積分在這里被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)相乘，這時候的選取是任意的。不妨選三角函數(shù)作為，作為

則=

移項求得

結(jié)束語

   通過在教學實踐中對次口訣的實際教學應用發(fā)現(xiàn)，這個方法在向?qū)W生講解分部積分的計算時，更容易被學生接受，也更容易被學生掌握。

【參考文獻】

[1] 同濟大學數(shù)學系  高等數(shù)學（第六版）[M]  高等教育出版社  2007，6

[2] 同濟大學數(shù)學系 高等數(shù)學復習指南[M]  學苑出版社 2000,10

[3] 吳傳生  經(jīng)濟數(shù)學微積分（第二版）[M]  高等教育出版社 2010,12